Abordagem Analítica de Fractais complexos utilizando o Conjunto Mandelbrot

Resumo

Este artigo trata de uma abordagem analítica de fractais complexos do conjunto de Mandelbrot, explorando sua definição com base nos axiomas definidos para este no espaço complexo. O estudo de fractais visa a entender melhor figuras não pertencentes a geometria euclidiana, que por vezes fogem ao senso comum da maioria dos acadêmicos. Sua construção nos permite criar figuras de estética interessante e propriedades especiais dentro da dimensão de Hausdorff, onde espaços entre pontos distintos infinitamente autossimilares entre si excedem a sua dimensão de Lebesgue. Padrões fractais acontecem com frequência na natureza e em padrões comportamentais de determinadas funções (como nos sons produzidos pelos batimentos cardíacos). Recursivamente, quando as dimensões de um fractal complexo são observadas para intervalos de pontos cada vez menores, é possível reconhecer determinados padrões que se repetem ao infinito. Sua origem remonta o estudo da Dinâmica complexa, determinado pela iteração de sistemas complexos, em 1908 pelos  matemáticos franceses Pierre Fatou e Gaston Julia, o que levou à rápida expansão do campo da Geometria Fractal. Consequentemente em 1980, no Centro de Pesquisa Thomas J. Watson da IBM, Benoit Mandelbrot visualizou pela primeira vez o Fractal que ficaria conhecido postumamente pelo seu sobrenome. O conjunto em si possui notadamente partes compactas, de modo que é possível estudar cada uma das figuras que o compõem separadamente, com a grande cardióide tal qual os bulbos no centro do conjunto possuindo parâmetros determináveis. Este trabalho deseja analisar estas juntamente a outras propriedades do conjunto Mandelbrot, como método de prover um entendimento aprofundado da geometria envolvida e fractais como um todo, em paralelo a uma possível imersão nos métodos de criação de fractais, em específico o fractal do conjunto Mandelbrot, com a intenção de expandir outros com suas respectivas aplicações. Por instância, fractais possuem aplicações em compressão de arquivos de imagem grandes com objetos recursivos ou existentes naturalmente (nuvens,folhas) (Falconer 2014) levando a uma eficiência maior no gerenciamento de informações que por conseguinte tem o potencial de ter retornos financeiros maiores para um datacenter. Para expandir seu escopo de utilidades, as disposições de redes neurais para entendimento da relação entre as dimensões e componentes dos fractais serão também brevemente exemplificadas. Em conclusão, embora os usos dos fractais ofereçam imensos benefícios a diferentes campos de atuação, excepcionalmente em termos de desenvolvimento de software, estes podem ser ofuscados pela aparente complexidade requerida matematicamente e mentalmente, com a maioria dos indivíduos decidindo contra seu uso mesmo quando favoráveis a seu trabalho. Esta noção pode e deve ser desconstruída, de modo a melhor capacitar e informar diferentes áreas do conhecimento.